Método Gráfico

   El método Gráfico o método Geométrico permite la resolución de problemas sencillos de programación lineal de manera intuitiva y visual. Este método se encuentra limitado a problemas de dos o tres variables de decisión ya que no es posible ilustrar gráficamente más de 3 dimensiones.

   Las fases del procedimiento de resolución de problemas mediante el método Gráfico son las siguientes:

• Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada variable de decisión esté representada por un eje.
• Establecer una escala de medida para cada uno de los ejes adecuada a su variable asociada.
• Dibujar en el sistema de coordenadas las restricciones del problema, incluyendo las de no negatividad (que serán los propios ejes). Notar que una inecuación define una región que será el semiplano limitado por la línea recta que se tiene al considerar la restricción como una igualdad, mientras que si una ecuación define una región que es la propia línea recta.
• La intersección de todas las regiones determina la región factible o espacio de soluciones (que es un conjunto convexo). Si esta región es no vacía, se continuará con el paso siguiente. En caso contrario, no existe ningún punto que satisfaga simultáneamente todas las restricciones, por lo que el problema no tendrá solución, denominándose no factible.
• Determinar los puntos extremos o vértices del polígono o poliedro que forma la región factible. Estos puntos serán los candidatos para la solución óptima.
• Evaluar la función objetivo en todos los vértices y aquél (o aquellos) que maximicen (o minimicen) el valor resultante determinaran la solución óptima del problema.

Ejemplo:

   Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

   Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 

2x - y = 0 

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600

y = 2x 

   Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

   Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

   Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

Método de los Promedios

   Aunque existen más métodos para pronosticar, por simplicidad presentamos solamente dos, que consideramos los más usuales y sencillos de llevar a cabo.

• Promedios Móviles
• Suavización Exponencial 

Estos métodos pueden utilizarse cuando: 

a) Hay información disponible de la variable(s) que se está pronosticando. 

b) La información puede ser cuantificada. 

c) Si se considera razonable que el patrón de comportamiento del pasado continuará en el futuro. Si se cuenta con una base de datos histórica y se quiere pronosticar una variable considerando su comportamiento pasado, entonces podemos utilizar el método de promedios móviles o el método de suavización exponencial, que son conocidos también como métodos de series de tiempo.

Método de Promedios Móviles 

La utilización de esta técnica supone que la serie de tiempo es estable, esto es, que los datos que la componen se generan sin variaciones importantes entre un dato y otro (error aleatorio=0), esto es, que el comportamiento de los datos aunque muestren un crecimiento o un decrecimiento lo hagan con una tendencia constante. 

   Cuando se usa el método de promedios móviles se está suponiendo que todas las observaciones de la serie de tiempo son igualmente importantes para la estimación del parámetro a pronosticar (en este caso los ingresos). De esta manera, se utiliza como pronóstico para el siguiente periodo el promedio de los n valores de los datos más recientes de la serie de tiempo. 

Suavización Exponencial

   Otro método para realizar un pronóstico es el método de suavización exponencial. A diferencia de los promedios móviles, este método pronostica otorgando una ponderación a los datos dependiendo del peso que tengan dentro del cálculo del pronóstico. Esta ponderación se lleva a cabo a través de otorgarle un valor a la constante de suavización, α, que puede ser mayor que cero y menor que uno. Para nuestro ejemplo, utilizamos un valor de α = 0.8, por ser éste el que mejor ajusta al pronóstico a los datos reales.

   El método de suavización exponencial supone que el proceso es constante, al igual que el método de promedios móviles. Esta técnica está diseñada para atenuar una desventaja del método de promedios móviles, en donde los datos para calcular el promedio tienen la misma ponderación. De manera particular, esta técnica considera que las observaciones recientes tienen más valor, por lo que le otorga mayor peso dentro del promedio. 

Ejemplo de método de los promedios:

   El Método de Promedios se basa en el supuesto que la suma de los residuos (r) es igual a cero (r = 0) 

   Donde se define el residuo como la diferencia entre el valor experimental de y y el valor dado por la expresión y = mx + b. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera: 

r = y - (mx + b)

   Para calcular m y b se necesita dos ecuaciones. Para aprovechar todas las medidas efectuadas se hace un grupo con los cuatro primeros puntos y otro con los tres últimos puntos tabulados. 

   Primer Grupo: 

5,4 = 1,00 m + b 

10,5 = 3,00 m + b 

15,3 = 5,00 m + b 

23,2 = 8,00 m + b 

   Sumando: 54,4 = 17,00 m + 4b (ecuación 1) 

   Segundo Grupo: 

28,1 = 10,0 m + b 

40,4 = 15,0 m + b 

52,8 = 20,0 m + b 

   Sumando 121,3 = 45,0 m + 3b (ecuación 2) 

   Las ecuaciones 1 y 2 se resuelven simultáneamente para m y b, obteniéndose los valores 2,50 y 2,99 respectivamente. Entonces al sustituir estos valores en la ecuación de la recta se obtiene:

   Solución usando método de los promedios: y = 2,50 x + 2,99

Métodos de los Mínimos Cuadrados

   El Método de Mínimos Cuadrados se basa principalmente en el siguiente supuesto: "La mejor curva es la que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de la curva". (Estas desviaciones son las mismas que los residuos definidos en el método de los promedios.)

   A continuación vamos a utilizar este método para obtener la mejor curva. Daremos sin demostración las ecuaciones que se utilizan para calcular la pendiente y el intercepto en el eje de las ordenadas de esta recta.

   Entonces, si n representa el número de medidas, x la variable independiente, y la variable dependiente, m la pendiente y b el intercepto en las ordenadas, la recta que mejor se ajusta a los datos es aquella para la cual se verifica que:

Ahora bien, del ejemplo utilizado para el metodo de los promedios, calculemos ahora los valores de m y de b por el método de mínimos cuadrados. En la tabla siguiente se ha agregado, a los valores de x y de y, los valores de x2 y de xy.

   Reemplazando estos valores en las ecuaciones para m y b, se tiene, en consecuencia, la ecuación de la recta de mejor ajuste es: 

y = mx + b = 2,49x + 3,00